Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(a) integral x(x+3)(x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em Integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir os termos da função e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (x + 3)(x + 1) = x cdot x + x cdot 1 + 3 cdot x + 3 cdot 1 = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3 . Vamos multiplicar dois dos parênteses primeiro:
x(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x
Então, agora temos:

Passo 3

Agora que temos o polinômio expandido integral x^3 , dx = x^44 , podemos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral 4x^2 , dx = 4 cdot x^33 = 4x^33 é integral 3x , dx = 3 cdot x^22 = 3x^22 mais a constante de integração .
Integrando termo a termo:

Passo 4

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
x^44 + 4x^33 + 3x^22 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para conferir se a nossa antiderivada está correta, vamos derivar a expressão que encontramos e ver se retornamos à função original ddx ( x^44 ) = x^3 .
Derivando cada termo:
ddx ( 4x^33 ) = 4x^2
ddx ( 3x^22 ) = 3x
x^3 + 4x^2 + 3x
Somando as derivadas:
Que é exatamente a função que integramos originalmente. Portanto, nossa solução está correta.

Resposta

A integral de x^44 + 4x^33 + 3x^22 + C é:

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