Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(f) integral (x^2+1)(x^2-2)x^23 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A matéria aqui é cálculo integral, especificamente integração de funções racionais com expoentes fracionários. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e usar regras básicas de integração de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador. Temos (x^2 + 1)(x^2 - 2) = x^4 - 2x^2 + x^2 - 2 = x^4 - x^2 - 2 . Vamos multiplicar os termos:
integral x^4 - x^2 - 2x^23 dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
x^4x^23 = x^4 - 23 = x^103
-x^2x^23 = -x^2 - 23 = -x^43
-2x^23 = -2x^-23
Então, a integral se torna:
integral ( x^103 - x^43 - 2x^-23 ) dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência, que diz que integral x^103 dx = x^133133 = 313 x^133 , onde integral -x^43 dx = -x^7373 = -37 x^73 é a constante de integração.
Integrando cada termo:
  1. Para integral -2x^-23 dx = -2 cdot x^1313 = -6 x^13 :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
313 x^133 - 37 x^73 - 6 x^13 + C

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