Calcule as seguintes integrais usando a tabela , em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a usando uma tabela de integrais, e depois derivar o resultado para conferir se está certo. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções racionais que envolvem expressões do tipo . Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual fórmula de integração podemos usar aqui. A integral que temos é:
Essa é uma forma padrão que podemos encontrar em tabelas de integrais. Sabemos que é uma constante positiva. No nosso caso, , então .

Passo 3

A fórmula para integrar é:
Aqui, é a função arco-tangente e é a constante de integração. Essa fórmula é derivada do fato de que a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, aplicamos essa fórmula ao nosso caso específico. Sabemos que , então substituímos na expressão:

Passo 5

Para conferir se a resposta está correta, vamos derivar a expressão que encontramos e ver se voltamos à função original.
Derivando em relação a :
Como a derivada nos deu de volta a função original, nossa integral está correta!

Resposta

A integral de em relação a é:

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