Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
(h) integral 1x^2+7 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 1x^2+7 em relação a x usando uma tabela de integrais, e depois derivar o resultado para conferir se está certo. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções racionais que envolvem expressões do tipo x^2 + a^2. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual fórmula de integração podemos usar aqui. A integral que temos é:
integral 1x^2 + a^2 , dx
Essa é uma forma padrão que podemos encontrar em tabelas de integrais. Sabemos que a é uma constante positiva. No nosso caso, a^2 = 7, então a = raiz7.

Passo 3

A fórmula para integrar 1x^2 + a^2 é:
integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a arctan(xa) + C
Aqui, arctan é a função arco-tangente e C é a constante de integração. Essa fórmula é derivada do fato de que a derivada de arctan(u) em relação a x é 11 + u^2 cdot dudx.

Passo 4

Agora, aplicamos essa fórmula ao nosso caso específico. Sabemos que a = raiz7, então substituímos na expressão:
integral 1x^2 + 7 , dx = 1raiz7 arctan(xraiz7) + C

Passo 5

Para conferir se a resposta está correta, vamos derivar a expressão que encontramos e ver se voltamos à função original.
Derivando 1raiz7 arctan(xraiz7) em relação a x:
ddx ( 1raiz7 arctan(xraiz7) ) = 1raiz7 cdot 11 + (xraiz7)^2 cdot 1raiz7 = 1x^2 + 7
Como a derivada nos deu de volta a função original, nossa integral está correta!

Resposta

A integral de 1x^2+7 em relação a x é:
1raiz7 arctan(xraiz7) + C

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