x) lim (x, y) (0,0) 1-e^-(x^2+y^2)x^2+y^2
R.: -1 .

Passo 1

Vamos analisar o limite dado:
lim (x, y) (0,0) 1 - e^-(x^2+y^2)x^2+y^2
Aqui, estamos lidando com um limite de função de duas variáveis, que faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver esse limite, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor para a função exponencial .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo lim u 0 1 - e^-uu . Assim, nosso limite fica:
Agora, precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 3

A expansão em série de Taylor para e^-u = 1 - u + u^22! - u^33! + cdots em torno de 0 é:
1 - e^-u = u - u^22! + u^33! - cdots
Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expansão na nossa expressão original:
1 - e^-uu = u - u^22! + u^33! - cdotsu = 1 - u2! + u^23! - cdots
À medida que se aproxima de 0, os termos com vão se tornando negligenciáveis.

Passo 5

Portanto, ao calcular o limite quando lim u 0 (1 - u2! + u^23! - cdots ) = 1 tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 1.

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