Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Fourier do sinal usando a equação da transformada de Fourier, que é o conteúdo principal aqui. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma um sinal do domínio do tempo ( ) para o domínio da frequência ( ). A fórmula geral da transformada de Fourier é:
No nosso caso, , onde é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para e 1 para .

Passo 3

Como a função é zero para , podemos simplificar os limites da integral de para para apenas de para . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos combinar os expoentes:
Então, a integral vira:

Passo 5

Para resolver essa integral, lembramos que:
Aqui, . A parte real de é 2, que é maior que 0, então podemos aplicar a fórmula:

Resposta

A transformada de Fourier do sinal é:

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