Calcule as seguintes integrais utilizando o método da substituição: integral cos (x^2+6) 2 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de cos(x^2+6) cdot 2x , dx usando o método da substituição. Esse método é útil para simplificar integrais complicadas substituindo parte da expressão por uma nova variável.

Passo 2

No método da substituição, escolhemos uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, geralmente chamada de u. Observando a integral, temos cos(x^2+6) e 2x , dx. Vamos escolher u de maneira que a derivada de u apareça na integral.
Escolhemos:
u = x^2 + 6

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(x^2 + 6) , dx = 2x , dx
Perceba que 2x , dx aparece na nossa integral original, o que facilita a substituição.

Passo 4

Com u = x^2 + 6 e du = 2x , dx, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral cos(x^2+6) cdot 2x , dx = integral cos(u) , du

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral cos(u) , du
A integral de cos(u) em relação a u é:
sin(u) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original substituindo u por x^2 + 6:
sin(u) + C = sin(x^2 + 6) + C

Resposta

A integral de cos(x^2+6) cdot 2x , dx é sin(x^2 + 6) + C.

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