Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral sin 5 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sin 5x , dx utilizando o método de substituição. Esse problema pertence ao estudo do cálculo, especificamente à técnica de integração por substituição. Para resolver, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observamos que o argumento do seno é 5x, então vamos definir:
u = 5x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 5
Multiplicando ambos os lados por dx:
du = 5 , dx

Passo 4

Precisamos expressar dx em termos de du:
dx = du5

Passo 5

Substituímos u e dx na integral original:
integral sin 5x , dx = integral sin u cdot du5 = 15 integral sin u , du

Passo 6

Agora, integramos sin u em relação a u:
integral sin u , du = -cos u + C
Portanto:
15 integral sin u , du = -15 cos u + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta por 5x:
-15 cos (5x) + C

Resposta

integral sin 5x , dx = -15 cos (5x) + C

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