Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral0^1 x cdot e^-x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral definida integral0^1 x cdot e^-x^2 , dx utilizando o método de substituição. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a técnica de substituição em integrais e saber como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão e^-x^2, percebemos que a derivada de -x^2 é -2x, que está relacionada com o termo x multiplicando e^-x^2. Portanto, vamos fazer a seguinte substituição:
Seja u = -x^2.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = -2x
Isso implica que du = -2x , dx, ou seja, x , dx = -12 , du.

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral0^1 x cdot e^-x^2 , dx = integral0^1 e^u cdot ( -12 , du ) = -12 integral0^1 e^u , du.

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u. Quando x = 0:
u = -0^2 = 0
Quando x = 1:
u = -1^2 = -1
Portanto, os novos limites de integração são de u = 0 a u = -1.

Passo 6

A integral agora fica:
-12 integral0^-1 e^u , du
Podemos inverter os limites de integração, trocando os sinais:
-12 integral0^-1 e^u , du = 12 integral-1^0 e^u , du

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites de integração:
12 [ e^u ]-1^0 = 12 ( e^0 - e^-1 ) = 12 ( 1 - 1e )

Resposta

A integral integral0^1 x cdot e^-x^2 , dx é igual a 12 ( 1 - 1e ).

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