Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral raizt(t^2-1) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral de raizt(t^2 - 1) em relação a t. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como integrar funções polinomiais multiplicadas por raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que raizt é o mesmo que t^1/2. Então, podemos reescrever a integral assim:
integral t^1/2 (t^2 - 1) , dt

Passo 3

Agora, vamos distribuir t^1/2 dentro do parênteses:
integral t^1/2 cdot t^2 , dt - integral t^1/2 cdot 1 , dt
Isso nos dá duas integrais mais simples para resolver.

Passo 4

Simplificando as potências, lembrando que t^a cdot t^b = t^a+b:
integral t^2 + 1/2 , dt - integral t^1/2 , dt = integral t^5/2 , dt - integral t^1/2 , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de t^n em relação a t é t^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Então:
integral t^5/2 , dt = t^7/27/2 = 27 t^7/2
e
integral t^1/2 , dt = t^3/23/2 = 23 t^3/2

Passo 6

Subtraindo os dois resultados:
27 t^7/2 - 23 t^3/2 + C

Resposta

A integral de raizt(t^2 - 1) em relação a t é:
27 t^7/2 - 23 t^3/2 + C

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