Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integralpi^2 pi sin ^5 x cdot cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de sin^5 x cdot cos x de pi até 2pi. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função para substituir, o que vai facilitar nossa conta.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para sin^5 x cdot cos x, podemos notar que a presença de cos x sugere uma boa ideia para substituição. Então, vamos definir:
u = sin x
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = cos x , dx
Essa substituição é legal porque ela transforma parte da nossa integral em termos de u, o que simplifica bastante a conta.

Passo 3

Depois de definir u, precisamos mudar também os limites de integração para termos tudo em termos de u. Quando x = pi:
u = sin pi = 0
E quando x = 2pi:
u = sin 2pi = 0
Então, nossos novos limites de integração são de 0 até 0.

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original. Temos:
integralpi^2 pi sin^5 x cdot cos x , dx = integral0^0 u^5 , du
Olha só, integrar de 0 até 0 já dá uma mão, porque qualquer integral com os mesmos limites resulta em zero.

Passo 5

Então, basta calcular a integral:
integral0^0 u^5 , du = 0
Não precisa fazer mais nada, já que o intervalo é nulo.

Resposta

O valor da integral é 0.

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