Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral(3 raizy-2y^3+1y) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema aqui é calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções polinomiais e racionais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar cada tipo de termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração. Sabemos que integral (3 y^12 - 2 y^-3 + y^-1) dy pode ser escrita como e como . Assim, a integral fica:
Isso ajuda a visualizar melhor os expoentes para a aplicação das regras de integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. A regra básica para integrar integral y^n dy = y^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos aplicar essa regra a cada termo:
  1. Para integral 3 y^12 dy = 3 cdot y^12 + 112 + 1 = 3 cdot y^3232 = 2 y^32 :
integral -2 y^-3 dy = -2 cdot y^-3 + 1-3 + 1 = -2 cdot y^-2-2 = y^-2
  1. Para integral y^-1 dy = ln|y| + C :
  1. Para :
Esse último termo é especial porque a integral de é o logaritmo natural de .

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais:
2 y^32 + y^-2 + ln|y| + C
Podemos reescrever 2 y^32 + 1y^2 + ln|y| + C como para deixar a expressão mais clara:

Passo 6

Para garantir que nossa resposta está correta, vamos derivar a função encontrada e ver se retornamos à função original dentro da integral.
Derivando ddy (2 y^32) = 2 cdot 32 y^12 = 3 y^12 :
ddy (1y^2) = -2 y^-3 = -2y^3
Derivando ddy (ln|y|) = 1y :
3 y^12 - 2y^3 + 1y
Derivando :
Somando todas as derivadas:
Que é exatamente a função que tínhamos dentro da integral! Isso confirma que nossa integração está correta.

Resposta

A integral de 2 y^32 + 1y^2 + ln|y| + C é:
onde é a constante de integração.

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