Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema aqui é calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções polinomiais e racionais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar cada tipo de termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração. Sabemos que
pode ser escrita como
e
como
. Assim, a integral fica:
Isso ajuda a visualizar melhor os expoentes para a aplicação das regras de integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo individualmente. A regra básica para integrar
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esse último termo é especial porque a integral de
é o logaritmo natural de
.
Passo 5
Agora, juntamos todas as integrais:
Podemos reescrever
como
para deixar a expressão mais clara:
Passo 6
Para garantir que nossa resposta está correta, vamos derivar a função encontrada e ver se retornamos à função original dentro da integral.
Derivando
:
Derivando
:
Derivando
:
Somando todas as derivadas:
Que é exatamente a função que tínhamos dentro da integral! Isso confirma que nossa integração está correta.
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre uma primitiva
, da função
, que satisfaça
.
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: