Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema aqui é calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções polinomiais e racionais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar cada tipo de termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a integração. Sabemos que pode ser escrita como e como . Assim, a integral fica:
Isso ajuda a visualizar melhor os expoentes para a aplicação das regras de integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. A regra básica para integrar é:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos aplicar essa regra a cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Esse último termo é especial porque a integral de é o logaritmo natural de .

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais:
Podemos reescrever como para deixar a expressão mais clara:

Passo 6

Para garantir que nossa resposta está correta, vamos derivar a função encontrada e ver se retornamos à função original dentro da integral.
Derivando :
Derivando :
Derivando :
Somando todas as derivadas:
Que é exatamente a função que tínhamos dentro da integral! Isso confirma que nossa integração está correta.

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre uma primitiva , da função , que satisfaça .
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: