Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral x^3 cdot cos x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral usando substituição. Aqui, estamos lidando com integração por substituição, uma técnica que facilita integrais mais complicadas ao transformar a expressão original em algo mais simples.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma parte da função que podemos substituir por uma variável u = x^4 . Observando a integral , vemos que está dentro do cosseno. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 4x^3 , que é a derivada de du = 4x^3 , dx em relação a :
Então,

Passo 4

Queremos expressar x^3 , dx = du4 em termos de , então rearranjamos a equação:

Passo 5

Substituímos integral x^3 cdot cos x^4 , dx = integral cos u cdot du4 e 14 integral cos u , du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos integral cos u , du = sin u + C em relação a 14 integral cos u , du = 14 sin u + C :
Então,

Passo 7

Finalmente, substituímos 14 sin u + C = 14 sin(x^4) + C de volta para :

Resposta

A integral calculada é:
integral x^3 cdot cos x^4 , dx = 14 sin(x^4) + C

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