Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral x^3+4 x^-12+4raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar a matéria de integração por potências, que é basicamente integrar funções onde a variável está elevada a alguma potência. Precisamos simplificar a expressão primeiro para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por x^3x^13 = x^3 - 13 = x^83 , que é o mesmo que 4x^-12x^13 = 4x^-12 - 13 = 4x^-56 :
4x^13 = 4x^-13
integral ( x^83 + 4x^-56 + 4x^-13 ) dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência para integrais, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde (n neq -1))
Vamos aplicar essa regra a cada termo da nossa integral:
  1. Primeiro termo: integral x^83 , dx = x^83 + 183 + 1 = x^113113 = 311x^113
integral 4x^-56 , dx = 4 cdot x^-56 + 1-56 + 1 = 4 cdot x^1616 = 24x^16
  1. Segundo termo: integral 4x^-13 , dx = 4 cdot x^-13 + 1-13 + 1 = 4 cdot x^2323 = 6x^23
  1. Terceiro termo:

Resposta

Somando as integrais dos três termos, a solução final é:
311x^113 + 24x^16 + 6x^23 + C
onde é a constante de integração.

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