Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função que é a soma de dois termos: e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções básicas e combinação de termos. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de integração como a linearidade da integral e conhecer como integrar exponenciais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes usando a propriedade da linearidade da integral, que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Vamos começar com a primeira parte: .
A integral de é bem direta, já que a derivada de é . Como temos um coeficiente , a gente simplesmente multiplica o resultado final por esse coeficiente. Assim:
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: . Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que é o mesmo que . Então:
Agora, a integral fica mais fácil:

Passo 5

Para integrar , usamos a regra básica de integração para potências de , que é:
Aplicando isso aqui, onde :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral de em relação a é:

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Encontre uma primitiva , da função , que satisfaça .
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: