Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral(e^x2+x raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função que é a soma de dois termos: e^x2 e x raizx. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções básicas e combinação de termos. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de integração como a linearidade da integral e conhecer como integrar exponenciais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes usando a propriedade da linearidade da integral, que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais. Ou seja:
integral ( e^x2 + x raizx ) dx = integral e^x2 , dx + integral x raizx , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Vamos começar com a primeira parte: integral e^x2 , dx.
A integral de e^x é bem direta, já que a derivada de e^x é e^x. Como temos um coeficiente 12, a gente simplesmente multiplica o resultado final por esse coeficiente. Assim:
integral e^x2 , dx = 12 e^x + C1
Onde C1 é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: integral x raizx , dx. Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2. Então:
x raizx = x cdot x^1/2 = x^1 + 1/2 = x^3/2
Agora, a integral fica mais fácil:
integral x^3/2 , dx

Passo 5

Para integrar x^3/2, usamos a regra básica de integração para potências de x, que é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso aqui, onde n = 32:
integral x^3/2 , dx = x^3/2 + 13/2 + 1 + C2 = x^5/25/2 + C2 = 25 x^5/2 + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
integral ( e^x2 + x raizx ) dx = 12 e^x + 25 x^5/2 + C
Onde C = C1 + C2 é a constante geral de integração.

Resposta

A integral de e^x2 + x raizx em relação a x é:
12 e^x + 25 x^5/2 + C

Exercícios relacionados