Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função que é a soma de dois termos:
e
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções básicas e combinação de termos. Para resolver, vamos precisar aplicar regras de integração como a linearidade da integral e conhecer como integrar exponenciais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes usando a propriedade da linearidade da integral, que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Vamos começar com a primeira parte:
.
A integral de
é bem direta, já que a derivada de
é
. Como temos um coeficiente
, a gente simplesmente multiplica o resultado final por esse coeficiente. Assim:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
é o mesmo que
. Então:
Agora, a integral fica mais fácil:
Passo 5
Para integrar
, usamos a regra básica de integração para potências de
, que é:
Aplicando isso aqui, onde
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Encontre uma primitiva
, da função
, que satisfaça
.
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: