Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral-1^1 e^x cdot raiz1+e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de usando o método de substituição. Isso envolve entender integrais e como simplificar expressões complicadas usando substituições para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para , parece uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos deixar . Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a dudx = e^x :
Então, . Isso é ótimo porque na nossa integral original temos , que agora podemos substituir por .

Passo 5

Agora, vamos substituir na integral:
integral e^x cdot raiz1+e^x , dx = integral raizu , du
Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável u = 1 + e^-1 . Quando u = 1 + e^1 ,
E quando ,

Passo 6

Agora, vamos integrar integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C em relação a :
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
[ 23 u^3/2 ]1 + e^-1^1 + e^1 = 23 (1 + e^1)^3/2 - 23 (1 + e^-1)^3/2

Resposta

O valor da integral 23 (1 + e)^3/2 - 23 (1 + 1e)^3/2 é:

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