Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de
usando o método de substituição. Isso envolve entender integrais e como simplificar expressões complicadas usando substituições para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para
, parece uma boa candidata para substituição.
Passo 3
Vamos deixar
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
:
Então,
. Isso é ótimo porque na nossa integral original temos
, que agora podemos substituir por
.
Passo 5
Agora, vamos substituir na integral:
Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável
. Quando
,
E quando
,
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante
.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor da integral
é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Encontre uma primitiva
, da função
, que satisfaça
.