Encontre uma primitiva
, da função
, que satisfaça
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma primitiva da função
. Primitiva é basicamente a antiderivada, ou seja, uma função
cuja derivada é
. Além disso, essa primitiva precisa satisfazer a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada geral da função
. Para isso, vamos integrar cada termo da função separadamente.
A função é:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 3
Vamos lembrar como integrar cada um desses termos:
-
Integrar
:
A integral deem relação a é: Isso porque a derivada deé . -
Integrar
:
A integral deem relação a é: A derivada deé .
Passo 4
Agora, juntando as integrais que calculamos:
Onde
�� a constante de integração, que aparece porque a antiderivada não é única.
Passo 5
Temos que encontrar a primitiva que satisfaz
. Vamos substituir
na expressão da primitiva e igualar a
para encontrar o valor de
.
Sabemos que:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos escrever a primitiva específica que satisfaz a condição dada:
Resposta
A primitiva
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.