Encontre uma primitiva F, da função f(x) = x - 1/x, que satisfaça F(1) = 3/2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma primitiva da função . Primitiva é basicamente a antiderivada, ou seja, uma função cuja derivada é . Além disso, essa primitiva precisa satisfazer a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada geral da função . Para isso, vamos integrar cada termo da função separadamente.
A função é:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 3

Vamos lembrar como integrar cada um desses termos:
  1. Integrar :
    A integral de em relação a é:
    Isso porque a derivada de é .
  2. Integrar :
    A integral de em relação a é:
    A derivada de é .

Passo 4

Agora, juntando as integrais que calculamos:
Onde �� a constante de integração, que aparece porque a antiderivada não é única.

Passo 5

Temos que encontrar a primitiva que satisfaz . Vamos substituir na expressão da primitiva e igualar a para encontrar o valor de .
Sabemos que:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora que encontramos , podemos escrever a primitiva específica que satisfaz a condição dada:

Resposta

A primitiva que satisfaz é:

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