Encontre uma primitiva , da função , que satisfaça .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma primitiva da função . Primitiva é basicamente a antiderivada, ou seja, uma função cuja derivada é . Além disso, essa primitiva precisa satisfazer a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada geral da função . Para isso, vamos integrar cada termo da função separadamente.
A função é:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 3

Vamos lembrar como integrar cada um desses termos:
  1. Integrar :
    A integral de em relação a é:
    Isso porque a derivada de é .
  2. Integrar :
    A integral de em relação a é:
    A derivada de é .

Passo 4

Agora, juntando as integrais que calculamos:
Onde �� a constante de integração, que aparece porque a antiderivada não é única.

Passo 5

Temos que encontrar a primitiva que satisfaz . Vamos substituir na expressão da primitiva e igualar a para encontrar o valor de .
Sabemos que:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora que encontramos , podemos escrever a primitiva específica que satisfaz a condição dada:

Resposta

A primitiva que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.