Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral x cdot sin x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral para algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral podemos substituir. Observando a função dentro do seno, vemos que temos . Se fizermos , então a derivada de em relação a é , o que significa que . Isso é ótimo porque temos um na nossa integral original.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de x , dx = du2 . Sabemos que integral x cdot sin x^2 , dx = integral sin u cdot du2 = 12 integral sin u , du , então podemos resolver para :
Substituindo e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, a integral está muito mais simples: 12 integral sin u , du = 12 (-cos u) + C = -12 cos u + C . Vamos calcular essa integral. A antiderivada de é , então:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, vamos substituir -12 cos u + C = -12 cos x^2 + C de volta para , já que fizemos a substituição . Então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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