Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções irracionais, especificamente aquelas com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir
. Assim,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral. Calculando:
Então, podemos escrever
.
Passo 4
Resolvendo para
, temos:
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Mas
, então
. Substituindo isso na integral:
Essa é uma integral padrão que conhecemos, cujo resultado é a função arco-tangente.
Passo 6
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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