Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções irracionais, especificamente aquelas com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir . Assim, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12(x^2 - 1)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 - 1 em relação a para substituir na integral. Calculando:
Então, podemos escrever .

Passo 4

Resolvendo para dx = raizx^2 - 1x , du , temos:
integral 1x raizx^2-1 cdot raizx^2 - 1x , du = integral 1x^2 , du
Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 5

Mas integral 1u^2 + 1 , du , então . Substituindo isso na integral:
Essa é uma integral padrão que conhecemos, cujo resultado é a função arco-tangente.

Passo 6

Integrando, temos:
integral 1u^2 + 1 , du = tan^-1(u) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original tan^-1(raizx^2 - 1) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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