Calcule as seguintes integrais utilizando substituição: integral 1(3 x-2)^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral . Vamos usar a técnica de substituição, que é super útil quando a integral tem uma função dentro de outra função. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar u = 3x - 2 de . Ou seja:
Isso vai simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx . Para isso, derivamos dx = du3 em relação a :
Queremos expressar em termos de , então:

Passo 4

Substituindo integral 1u^2 cdot du3 = 13 integral u^-2 , du e na integral original, fica assim:
Agora, a integral ficou mais simples e está em termos de .

Passo 5

Vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) em relação a integral u^-2 , du = u^-1-1 + C = -1u + C . Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral:
13 integral u^-2 , du = 13 ( -1u ) + C = -13u + C
Agora, substituímos -13(3x - 2) + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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