Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas. integral 2 e^x-sen xcos ^2 x+2x^7 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, e a gente vai precisar integrar cada termo separadamente usando regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo integral 2 e^x dx = 2 e^x + C . Sabemos que a integral de é , então multiplicando por 2 fica:

Passo 3

Agora, vamos para o termo -sin xcos^2 x = -sin x cdot sec^2 x . Podemos simplificar isso reescrevendo a fração:
integral -sin xcos^2 x dx = integral duu^2 = -1u + C = -1cos x + C = -sec x + C
Mas uma forma mais fácil é usar substituição. Deixe , assim , então:

Passo 4

Por último, vamos integrar integral 2 x^-7 dx = 2 cdot x^-6-6 + C = -13 x^6 + C . Podemos reescrever isso como e aplicar a regra de potência:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
2 e^x - sec x - 13 x^6 + C

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