Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrarmos a primitiva geral da função . Isso significa que vamos integrar essa função. Para isso, vamos precisar das regras básicas de integração, especialmente como integrar potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador :
Assim, a função ficou mais simples de integrar.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais:

Passo 4

Vamos integrar cada termo:

  1. A integral de uma constante em relação a é simplesmente .

  2. Usamos a regra de potência: , onde .

  3. Novamente, aplicando a regra de potência com .

Passo 5

Agora, juntamos todas as integrais:
Onde é a constante de integração, que sempre colocamos quando estamos encontrando primitivas gerais.

Passo 6

Vamos conferir se nossa primitiva está correta derivando a expressão encontrada:
Derivando termo a termo:
Juntando tudo:
Como , nossa primitiva está correta.

Resposta

A primitiva geral de é:

Exercícios relacionados

Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.