Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrarmos a primitiva geral da função
. Isso significa que vamos integrar essa função. Para isso, vamos precisar das regras básicas de integração, especialmente como integrar potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador
:
Assim, a função ficou mais simples de integrar.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais:
Passo 4
Vamos integrar cada termo:
-
A integral de uma constanteem relação a é simplesmente . -
Usamos a regra de potência:, onde . -
Novamente, aplicando a regra de potência com.
Passo 5
Agora, juntamos todas as integrais:
Onde
é a constante de integração, que sempre colocamos quando estamos encontrando primitivas gerais.
Passo 6
Vamos conferir se nossa primitiva está correta derivando a expressão encontrada:
Derivando termo a termo:
Juntando tudo:
Como
, nossa primitiva está correta.
Resposta
A primitiva geral de
é:
Exercícios relacionados
Nos problemas a seguir, calcule a primitiva geral. Comprove as repostas obtidas, derivando-as.
Calcule as seguintes integrais utilizando substituição:
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivandoas.