Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \operatorname{tg}^{3} x \sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente ( ) e secante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração, como a substituição trigonométrica e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação:

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Observamos que a expressão contém e , então podemos escolher . Assim, a derivada de em relação a é:
Precisamos ajustar a integral para se adequar a essa substituição.

Passo 4

Rearranjando a expressão original:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Portanto, a integral é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0} \frac{\pi}{2} \cos ^{2} \theta d \theta
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{7} \theta \cos ^{5} \theta d \theta
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x{2}+1}{(x-3)(x-2){2}} d x
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}{1}(1+\sqrt{x}){8} d x