Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \operatorname{tg}^{3} x \sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente tangente ( ) e secante ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração, como a substituição trigonométrica e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno para facilitar a manipulação:

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Observamos que a expressão contém e , então podemos escolher . Assim, a derivada de em relação a é:
Precisamos ajustar a integral para se adequar a essa substituição.

Passo 4

Rearranjando a expressão original:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Portanto, a integral é:

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