Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{\pi} t \cos ^{2} t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 até . O que isso significa? Basicamente, queremos achar a área sob a curva dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar técnicas de integração que aprendemos, como a identidade trigonométrica para e a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando a identidade trigonométrica:
Isso vai facilitar a integração.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, distribuímos o :

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando por :
Avaliando de 0 a :

Passo 5

Agora, vamos resolver usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Avaliando de 0 a :
Em :
Em :
Portanto:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int(\ln x)^{2} d x
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int x \cos 5 x d x
É dado o gráfico de f. Calcule cada integral interpretando-a em termos das áreas. $\int_{5}^{7} f(x) d x-3
Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int_{0}{1}\left(x{1} 0+10^{x}\right), d x