Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-7}} d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração, especificamente usando uma técnica que envolve uma substituição trigonométrica ou uma substituição direta. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a integral fazendo uma substituição. Observe que no numerador temos um e no denominador temos . Isso sugere que podemos deixar . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da integral:
Simplificamos multiplicando por e dividindo por , isso elimina os fatores e deixa apenas .

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

Então, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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