Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-7}} d x
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com integração, especificamente usando uma técnica que envolve uma substituição trigonométrica ou uma substituição direta. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a integral fazendo uma substituição. Observe que no numerador temos um
e no denominador temos
. Isso sugere que podemos deixar
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso significa que
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Aqui, o
no numerador e no denominador se cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando a regra da integral:
Simplificamos multiplicando por
e dividindo por
, isso elimina os fatores e deixa apenas
.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
Então, a integral
é:
Onde
é a constante de integração.
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