Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}+1} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de √(x² + 1) dx. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente técnicas de integração que nos ajudam a resolver integrais que não são diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender substuição trigonométrica ou usar uma fórmula padrão de integração para funções que envolvem √(x² + a²).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a função dentro da raiz é x² + 1. Essa forma √(x² + a²) é comum e tem uma fórmula de integração conhecida. A fórmula para integrar √(x² + a²) dx é:
Aqui,
, então podemos aplicar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
:
Como a integral que queremos é definida de 0 a 1, vamos calcular essa expressão nos limites de 0 a 1 e subtrair os valores.
Passo 4
Vamos avaliar a expressão antiderivada em x = 1 e em x = 0:
Para x = 1:
Para x = 0:
Passo 5
Agora, subtraímos o valor em x = 0 do valor em x = 1:
Resposta
O valor da integral é:
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