Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int x \sin x^{2} d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Queremos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar técnicas de integração que aprendemos, especificamente a substituição (ou mudança de variável), que facilita resolver integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olhando para , percebemos que o argumento é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial . Calculando a derivada:

Passo 4

Queremos expressar em termos de . Rearranjando a equação anterior:

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Agora, basta resolver a integral de em relação a :
Portanto:

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

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