Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x \sqrt{4 x+1}} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente de técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que dentro da raiz temos . Uma boa estratégia é fazer a substituição . Isso vai ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Com a substituição , precisamos também expressar em termos de . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Substituindo por e por , a integral fica:
Mas ainda precisamos expressar em termos de . Da substituição inicial , podemos resolver para :

Passo 5

Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral . Podemos reescrever o denominador para facilitar a integração:
Vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa fração.

Passo 7

Para aplicar frações parciais, assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação para encontrar e .

Passo 8

Vamos tentar :
Agora, precisamos encontrar . Vamos derivar ambos os lados ou escolher outro valor de , mas como isso pode complicar, podemos reescrever a equação para resolver para :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Portanto, a única maneira de isso acontecer é se e , o que não é possível. Isso indica que a abordagem das frações parciais não é adequada aqui.

Passo 9

Como as frações parciais não funcionaram diretamente, vamos tentar outra substituição. Vamos definir , então e . Substituindo na integral:

Passo 10

Agora, temos a integral . Sabemos que:
Portanto,

Passo 11

Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 12

Agora, substituímos e :

Resposta

A integral vale:
Onde é a constante de integração.

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