Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{1}{x \sqrt{4 x+1}} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente de técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que dentro da raiz temos . Uma boa estratégia é fazer a substituição . Isso vai ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Com a substituição , precisamos também expressar em termos de . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Substituindo por e por , a integral fica:
Mas ainda precisamos expressar em termos de . Da substituição inicial , podemos resolver para :
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a integral . Podemos reescrever o denominador para facilitar a integração:
Vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa fração.
Passo 7
Para aplicar frações parciais, assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação para encontrar e .
Passo 8
Vamos tentar :
Agora, precisamos encontrar . Vamos derivar ambos os lados ou escolher outro valor de , mas como isso pode complicar, podemos reescrever a equação para resolver para :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Portanto, a única maneira de isso acontecer é se e , o que não é possível. Isso indica que a abordagem das frações parciais não é adequada aqui.
Passo 9
Como as frações parciais não funcionaram diretamente, vamos tentar outra substituição. Vamos definir , então e . Substituindo na integral: