Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem frações racionais, ou seja, um polinômio no numerador dividido por outro no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que vai nos ajudar a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios. Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Assim:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos reescrever a fração como:
Para simplificar essa expressão, vamos decompor em frações parciais da forma:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, precisamos encontrar os valores de e . Vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 5

Primeiro, escolhemos :
Agora, escolhemos :

Passo 6

Agora que temos os valores de e , podemos escrever a fração original como:
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente.
Para , fazemos uma substituição:
  • Seja , então ou
  • A integral fica:
Para , a integral é direta:

Passo 8

Agora, juntamos os resultados e avaliamos de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos x d x
Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int \frac{1}{5-3 x} d x
Calcule a integral: $\int_{0}{1}\left(x{e}+e^{x}\right) d x
Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int(u+4)(2 u+1) d u