Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2}+3 x+1} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem frações racionais, ou seja, um polinômio no numerador dividido por outro no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que vai nos ajudar a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios. Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Assim:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos reescrever a fração
como:
Para simplificar essa expressão, vamos decompor em frações parciais da forma:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 5
Primeiro, escolhemos
:
Agora, escolhemos
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a fração original como:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente.
Para
, fazemos uma substituição:
- Seja
, então ou - A integral fica:
Para
, a integral é direta:
Passo 8
Agora, juntamos os resultados e avaliamos de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Resposta
O valor da integral é
.
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