Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1-x^{2}} d x
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Essa questão envolve técnicas de integração, como substituição. Vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos
na integral. Isso sugere que uma boa substituição seria
. Assim, vamos definir
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
. Isso nos permite expressar
em termos de
:
.
Passo 4
Reescrevemos a integral original em termos de
. Primeiro, notamos que
. Sabendo que
, temos
. Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificamos a expressão, retirando o sinal negativo e ajustando os limites de integração:
Passo 6
Distribuímos
dentro da expressão:
Passo 7
Integramos cada termo separadamente:
Passo 8
Simplificamos os coeficientes:
Passo 9
Avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Resposta
A integral
é igual a
.