Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{\sqrt{x{2}-9}}{x{3}} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com integração, usando técnicas que aprendemos em sala de aula. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como manipular expressões que envolvem raízes quadradas e potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
pode ser reescrito como
. Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar
. Assim, precisamos achar
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Mas ainda temos termos de
na integral, o que não é ideal. Precisamos expressar
em termos de
.
Passo 5
Voltando à substituição
, podemos resolver para
:
Portanto,
.
Passo 6
Substituindo
na integral:
Agora, a integral está completamente em termos de
, o que facilita a resolução.
Passo 7
Para resolver
, podemos usar uma substituição adicional ou métodos de frações parciais. Vamos simplificar a expressão:
Vamos fazer
, então
e
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Agora, precisamos resolver essa nova integral em termos de
.
Passo 9
Para integrar
, podemos usar substituição trigonométrica ou expandir a expressão. Contudo, uma abordagem mais direta é reconhecer que essa integral pode ser resolvida por partes ou por uma substituição adequada. Neste caso, vamos optar pela substituição
, então
e
.
Passo 10
Com
, expressamos
em termos de
:
Substituindo na integral:
Passo 11
Agora, a integral é
. Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador pelo denominador:
Assim, nossa integral se torna:
Passo 12
Agora, integramos cada termo separadamente:
A primeira integral é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente. A segunda integral requer uma técnica específica, mas conhecendo o resultado, podemos prosseguir.
Passo 13
Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Passo 14
Juntando os resultados das integrais:
Passo 15
Agora, substituímos
e
, e
:
Substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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