Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula. $\int \frac{\sqrt{x{2}-9}}{x{3}} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integração, usando técnicas que aprendemos em sala de aula. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como manipular expressões que envolvem raízes quadradas e potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que pode ser reescrito como . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos chamar . Assim, precisamos achar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Mas ainda temos termos de na integral, o que não é ideal. Precisamos expressar em termos de .

Passo 5

Voltando à substituição , podemos resolver para :
Portanto, .

Passo 6

Substituindo na integral:
Agora, a integral está completamente em termos de , o que facilita a resolução.

Passo 7

Para resolver , podemos usar uma substituição adicional ou métodos de frações parciais. Vamos simplificar a expressão:
Vamos fazer , então e .

Passo 8

Substituindo na integral:
Agora, precisamos resolver essa nova integral em termos de .

Passo 9

Para integrar , podemos usar substituição trigonométrica ou expandir a expressão. Contudo, uma abordagem mais direta é reconhecer que essa integral pode ser resolvida por partes ou por uma substituição adequada. Neste caso, vamos optar pela substituição , então e .

Passo 10

Com , expressamos em termos de :
Substituindo na integral:

Passo 11

Agora, a integral é . Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador pelo denominador:
Assim, nossa integral se torna:

Passo 12

Agora, integramos cada termo separadamente:
A primeira integral é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente. A segunda integral requer uma técnica específica, mas conhecendo o resultado, podemos prosseguir.

Passo 13

Integrando o primeiro termo:
E o segundo termo:

Passo 14

Juntando os resultados das integrais:

Passo 15

Agora, substituímos e , e :
Substituindo :

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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