Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de
. Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integração por substituição. Vamos precisar entender como usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos usar uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que a derivada de
é
. Então,
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original usando
e
:
Isso simplifica bastante a integral!
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. A regra básica de integração para potências é:
onde
e
é a constante de integração.
Aplicando isso aqui com
:
Passo 5
Por último, substituímos
de volta para termos em função de
. Lembrando que
:
Resposta
A integral é igual a
.
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