Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de . Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integração por substituição. Vamos precisar entender como usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de u em relação a x.
Sabemos que a derivada de ln x é 1/x. Então,

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando u e :
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a u. A regra básica de integração para potências é:
onde e C é a constante de integração.
Aplicando isso aqui com :

Passo 5

Por último, substituímos u de volta para termos em função de x. Lembrando que :

Resposta

A integral é igual a .

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