Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.
integral e^2 theta sen 3 theta d theta

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como o que sobra.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar u = e^2theta e dv = sen(3theta) , dtheta e du = ddtheta(e^2theta) , dtheta = 2e^2theta , dtheta :
v = integral sen(3theta) , dtheta = -13 cos(3theta)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo integral e^2theta sen(3theta) , dtheta = u cdot v - integral v , du , = e^2theta (-13 cos(3theta)) - integral (-13 cos(3theta)) cdot 2e^2theta , dtheta , e = -13 e^2theta cos(3theta) + 23 integral e^2theta cos(3theta) , dtheta :

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^2theta e dv = cos(3theta) , dtheta usando novamente a integração por partes. Vamos repetir o processo:
Escolhendo:
du = 2e^2theta , dtheta
Então:
v = integral cos(3theta) , dtheta = 13 sen(3theta)
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos chamar a integral original de I = integral e^2theta sen(3theta) , dtheta :
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Levantando I = -13 e^2theta cos(3theta) + 23 ( 13 e^2theta sen(3theta) - 23 I ) para um lado:
Multiplicando ambos os lados por I = -13 e^2theta cos(3theta) + 29 e^2theta sen(3theta) - 49 I :
onde I + 49 I = -13 e^2theta cos(3theta) + 29 e^2theta sen(3theta) é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:

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