Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
A ideia é escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como o que sobra.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , e :

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente a integração por partes. Vamos repetir o processo:
Escolhendo:
Então:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos chamar a integral original de :
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Levantando para um lado:
Multiplicando ambos os lados por :
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto .
j) A é o conjunto do todos os pontos tais que .
Encontre a integral pedida. Calcule a integral:
Calcule, se existir, os limites:
Encontre o valor do limite (se existir):