Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a
. Isso envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
A ideia é escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar, e
como o que sobra.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
, e
:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente a integração por partes. Vamos repetir o processo:
Escolhendo:
Então:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Levantando
para um lado:
Multiplicando ambos os lados por
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral vale:
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto
.
j) A é o conjunto do todos os pontos tais que
.
j) A é o conjunto do todos os pontos
Encontre a integral pedida. Calcule a integral:
Calcule, se existir, os limites:
Encontre o valor do limite (se existir):