Encontre o valor do limite (se existir):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o valor de:
Aqui, estamos lidando com limites de funções polinomiais quando vai para infinito. Para resolver isso, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois eles são os que mais influenciam o comportamento da função conforme cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos , e . O termo de maior grau aqui é , porque cresce muito mais rápido que ou uma constante quando tende ao infinito.
No denominador, temos , e . Novamente, o termo de maior grau é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar uma regra importante dos limites no infinito para funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Quando tende ao infinito, os termos com o maior grau dominam o comportamento da função. Portanto, podemos simplificar o limite focando apenas nesses termos de maior grau.

Passo 4

Aplicando essa regra, podemos reescrever o limite considerando apenas os termos de maior grau:
Perceba que os outros termos ( , , , ) se tornam insignificantes comparados com quando é muito grande.

Passo 5

Agora, simplificamos a fração. Como está presente tanto no numerador quanto no denominador, eles se cancelam:

Passo 6

Vamos simplificar :
Sabemos que e . Portanto:

Resposta

O valor do limite é 2.

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Calcule, se existir, os limites:
Calcule as seguintes integrais, utilizando as técnicas de integração estudadas em sala de aula.
Encontre o valor do limite (se existir):
Calcule, se existir, o valor do limite: ;