Demonstre a fórmula, onde m e n são inteiros positivos.
integral-pi^pi cos m x cos n x d x= 0 & se m neq n pi & se m=n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que a integral de de a é igual a zero quando é diferente de e igual a quando é igual a . Isso está relacionado ao conceito de ortogonalidade de funções trigonométricas na matéria de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de produto para cossenos. Para multiplicar cos(mx)cos(nx) = 12 [cos((m+n)x) + cos((m-n)x)] por , usamos a identidade trigonométrica:
Essa identidade vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão acima na integral:
integral-pi^pi cos(mx)cos(nx) , dx = 12 integral-pi^pi [cos((m+n)x) + cos((m-n)x)] , dx
Isso divide a integral original em duas partes mais simples.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que a integral de integral-pi^pi cos((m+n)x) , dx = 0 e integral-pi^pi cos((m-n)x) , dx = 2pi & se m = n 0 & se m neq n de a é zero, a menos que . Então:

Passo 5

Agora, vamos considerar os dois casos:
  1. Quando integral-pi^pi cos(mx)cos(nx) , dx = 12 [0 + 0] = 0 :
integral-pi^pi cos(mx)cos(nx) , dx = 12 [0 + 2pi] = pi
  1. Quando :

Resposta

Portanto, demonstramos que:
integral-pi^pi cos(mx)cos(nx) , dx = 0 & se m neq n pi & se m = n

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