Demonstre a fórmula, onde
e
são inteiros positivos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar que a integral de
de
a
é igual a zero quando
é diferente de
e igual a
quando
é igual a
. Isso está relacionado ao conceito de ortogonalidade de funções trigonométricas na matéria de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de produto para cossenos. Para multiplicar
por
, usamos a identidade trigonométrica:
Essa identidade vai nos ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, substituímos a expressão acima na integral:
Isso divide a integral original em duas partes mais simples.
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que a integral de
de
a
é zero, a menos que
. Então:
Passo 5
Agora, vamos considerar os dois casos:
- Quando
:
- Quando
:
Resposta
Portanto, demonstramos que: