Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
integral0^infty 11+x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema dos Resíduos. Esse teorema é uma ferramenta poderosa do cálculo complexo que ajuda a calcular integrais definidas envolvendo funções racionais. Para isso, vamos precisar identificar os pólos da função no plano complexo e calcular os resíduos nesses pólos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a função . Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos encontrar os valores de que tornam o denominador zero, ou seja, resolver . Isso nos dará os pólos da função.

Passo 3

Resolvendo z = e^i(pi4 + kpi2), k = 0, 1, 2, 3 , temos z1 = e^ipi/4, z2 = e^i3pi/4, z3 = e^i5pi/4, z4 = e^i7pi/4 . As soluções dessa equação são as raízes quarta de , que podem ser escritas na forma polar:
Portanto, os pólos são:

Passo 4

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, vamos escolher um contorno no plano complexo que envolva a parte real da integral original. Vamos usar uma curva semicircular no semiplano superior, que vai de a na parte real e retorna por um arco de raio no semicírculo. Depois, vamos deixar tendendo ao infinito.

Passo 5

Dentro desse contorno, apenas dois pólos estão no semiplano superior: Res(f, zk) = limz to zk (z - zk) f(z) e Res(f, z1) = 14z1^3 = 14e^i3pi/4 . Vamos calcular os resíduos dessas funções nesses pólos.
O resíduo de Res(f, z2) = 14z2^3 = 14e^i9pi/4 = 14e^ipi/4 em um pólo simples é dado por:
Calculando para e :

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao longo do contorno é integralcontorno f(z) , dz = 2pi i ( 14e^i3pi/4 + 14e^ipi/4 ) vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:
= 2pi i cdot 14 ( e^-i3pi/4 + e^-ipi/4 )
Simplificando:
= pi i2 ( e^-i3pi/4 + e^-ipi/4 )
e^-i3pi/4 + e^-ipi/4 = 2cos(pi2) = 0
Usando identidades trigonométricas:
integral0^infty 11+x^4 , dx = pi2raiz2
Mas, devemos lembrar que a integral no contorno é a soma da integral real e da integral no arco. Quando , a integral no arco tende a zero, então:

Resposta

A integral vale .

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Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
|z + 1| < 2;
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f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty(12^n+1-1) z^n
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