Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando o Teorema dos Resíduos. Esse teorema é uma ferramenta poderosa do cálculo complexo que ajuda a calcular integrais definidas envolvendo funções racionais. Para isso, vamos precisar identificar os pólos da função no plano complexo e calcular os resíduos nesses pólos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a função
. Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos encontrar os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja, resolver
. Isso nos dará os pólos da função.
Passo 3
Resolvendo
, temos
. As soluções dessa equação são as raízes quarta de
, que podem ser escritas na forma polar:
Portanto, os pólos são:
Passo 4
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, vamos escolher um contorno no plano complexo que envolva a parte real da integral original. Vamos usar uma curva semicircular no semiplano superior, que vai de
a
na parte real e retorna por um arco de raio
no semicírculo. Depois, vamos deixar
tendendo ao infinito.
Passo 5
Dentro desse contorno, apenas dois pólos estão no semiplano superior:
e
. Vamos calcular os resíduos dessas funções nesses pólos.
O resíduo de
em um pólo simples
é dado por:
Calculando para
e
:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral ao longo do contorno é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:
Simplificando:
Usando identidades trigonométricas:
Mas, devemos lembrar que a integral no contorno é a soma da integral real e da integral no arco. Quando
, a integral no arco tende a zero, então:
Resposta
A integral
vale
.
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Desenvolva
em série de Laurent para:
;
Mostre que:
para
Mostre que o desenvolvimento em série de Laurent de
é dado por:
para
.
Mostre que:
para