Mostre que o desenvolvimento em série de Laurent de
é dado por:
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Laurent para a função
. A matéria envolve funções hiperbólicas e séries de Laurent, que são expansões em série que podem ter termos com potências negativas de
. Pra resolver, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função
e manipular essa série para obter a série de Laurent desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A função seno hiperbólico é dada por:
Ela tem uma série de Taylor que pode ser escrita como:
Isso significa que
pode ser expandida em uma série infinita com apenas termos ímpares de
.
Passo 3
Agora, queremos dividir
por
, ou seja:
Vamos distribuir a divisão por
dentro da soma:
Passo 4
Agora, vamos separar o primeiro termo da soma para facilitar a compreensão. Quando
:
Então, podemos escrever a série como:
Resposta
Portanto, mostramos que a série de Laurent de
é:
válida para
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
Desenvolva
em série de Laurent para:
;
Mostre que:
para
Considere a curva dada pela função vetorial
. Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto
na direção que
cresce;