Mostre que o desenvolvimento em série de Laurent de
sinh zz^2
é dado por:
1z+sumn=1^infty z^2 n-1(2 n+1)!
para |z|>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Laurent para a função . A matéria envolve funções hiperbólicas e séries de Laurent, que são expansões em série que podem ter termos com potências negativas de . Pra resolver, vamos precisar conhecer a série de Taylor da função e manipular essa série para obter a série de Laurent desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função sinh z = e^z - e^-z2 . A função seno hiperbólico é dada por:
sinh z = sumn=0^infty z^2n+1(2n+1)!
Ela tem uma série de Taylor que pode ser escrita como:
Isso significa que pode ser expandida em uma série infinita com apenas termos ímpares de .

Passo 3

Agora, queremos dividir sinh zz^2 = 1z^2 sumn=0^infty z^2n+1(2n+1)! por sinh zz^2 = sumn=0^infty z^2n+1(2n+1)! cdot 1z^2 = sumn=0^infty z^2n+1 - 2(2n+1)! = sumn=0^infty z^2n -1(2n+1)! , ou seja:
Vamos distribuir a divisão por dentro da soma:

Passo 4

Agora, vamos separar o primeiro termo da soma para facilitar a compreensão. Quando z^2 cdot 0 -1(2 cdot 0 +1)! = z^-11! = 1z :
sinh zz^2 = 1z + sumn=1^infty z^2n -1(2n+1)!
Então, podemos escrever a série como:

Resposta

Portanto, mostramos que a série de Laurent de 1z + sumn=1^infty z^2n-1(2n+1)! é:
válida para .

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