Mostre que:
para
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função
pode ser escrita como uma série infinita da forma
quando
. Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e séries de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a soma de duas frações mais simples. Então, temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Vamos fazer isso:
- Se
:
- Se
:
Então,
e
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos reescrever
:
Para transformar essas frações em séries de potências, precisamos manipular cada termo para ter
no numerador e expressar em termos de
.
Passo 5
Vamos reescrever cada termo:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, substituímos essas séries de volta em
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
para
.
Exercícios relacionados
Mostre que o desenvolvimento em série de Laurent de
é dado por:
para
.
Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
Considere a curva dada pela função vetorial
. Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto
na direção que
cresce;
Encontre os vetores
(tangente unitário),
(normal unitário) e
(binormal) no ponto indicado.