Mostre que:
f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty(12^n+1-1) z^n
para |z|<1

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função pode ser escrita como uma série infinita da forma quando . Aqui, vamos usar conceitos de frações parciais e séries de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função -1(z-1)(z-2) = Az-1 + Bz-2 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a soma de duas frações mais simples. Então, temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Para encontrar -1 = A(z - 2) + B(z - 1) e -1 = A(2 - 2) + B(2 - 1) Rightarrow -1 = 0 + B(1) Rightarrow B = -1 , multiplicamos ambos os lados da equação por -1 = A(1 - 2) + B(1 - 1) Rightarrow -1 = A(-1) + 0 Rightarrow A = 1 para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Vamos fazer isso:
  • Se :
  • Se :
Então, e .

Passo 4

Agora que temos f(z) = 1z - 1 - 1z - 2 e , podemos reescrever :
Para transformar essas frações em séries de potências, precisamos manipular cada termo para ter no numerador e expressar em termos de .

Passo 5

Vamos reescrever cada termo:
Para 1z - 1 = -11 - z = -sumn=0^infty z^n (usando a fórmula da série >=ométrica para |z| < 1) :
1z - 2 = -12 - z = -12cdot11 - z2 = -12sumn=0^infty (z2)^n = -sumn=0^infty z^n2^n+1 óéé
Para :

Passo 6

Agora, substituímos essas séries de volta em f(z) = -sumn=0^infty z^n - sumn=0^infty z^n2^n+1 = sumn=0^infty ( 12^n+1 - 1 ) z^n :

Resposta

Portanto, mostramos que:
f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty(12^n+1-1) z^n
para .

Exercícios relacionados

Mostre que o desenvolvimento em série de Laurent de
sinh zz^2
é dado por:
1z+sumn=1^infty z^2 n-1(2 n+1)!
para |z|>0.
Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
integral0^infty 11+x^4 d x
Considere a curva dada pela função vetorial r(t) = (5 - t, 4t - 3, 3t). Encontre a função comprimento de arco desta curva a partir do ponto P = (4, 1, 3) na direção que t cresce;
Encontre os vetores T (tangente unitário), N (normal unitário) e B (binormal) no ponto indicado. vec{r}(t) = (cos(t), sen(t), ln(cos(t))), P = (1, 0, 0)