Beleza, vamos lá! O enunciado pede para desenvolver a função em uma série de Laurent para . Isso envolve Álgebra Complexa, mais especificamente a expansão em séries de Laurent. Para resolver, vamos precisar fatorar a função e usar expansões de séries geométricas adaptadas para esse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar . Podemos usar frações parciais para separar a função:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, para encontrar e , escolhemos valores de que simplifiquem a equação. Se :
E se :
Então, a fração parcial fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir cada termo em série de Laurent dentro do domínio . Primeiro, observamos que:
Queremos que a série seja centrada em , então reescrevemos os denominadores:
Usamos a fórmula da série geométrica válida para .
Para o segundo termo:
Novamente, usamos a série geométrica válida para , que é verdade já que .
Passo 4
Agora, juntamos as expansões encontradas:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Finalmente, podemos escrever a série de Laurent completa para :
Essa série é válida para , conforme solicitado no enunciado.