Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função pode ser expressa como a soma das séries e para valores de onde . Para resolver isso, vamos usar técnicas de frações parciais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da função . Queremos escrever como soma de termos mais simples:
Passo 3
Agora, encontramos os valores de e . Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar , substituímos :
Para encontrar , substituímos :
Passo 4
Então, a decomposição fica:
Agora, precisamos expandir cada fração em séries de potências válidas para .
Passo 5
Vamos começar com . Reescrevendo:
Aqui, usamos a fórmula da série geométrica válida para . No nosso caso, e como , .