Mostre que:
f(z)=-1(z-1)(z-2)=sumn=0^infty 1z^n+1+z^n2^n+1
para 1<|z|<2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função pode ser expressa como a soma das séries e para valores de onde . Para resolver isso, vamos usar técnicas de frações parciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da função -1(z-1)(z-2) = Az-1 + Bz-2 . Queremos escrever como soma de termos mais simples:

Passo 3

Agora, encontramos os valores de -1 = A(z-2) + B(z-1) e -1 = A(2-2) + B(2-1) Rightarrow -1 = B(1) Rightarrow B = -1 . Multiplicando ambos os lados por -1 = A(1-2) + B(1-1) Rightarrow -1 = A(-1) Rightarrow A = 1 :
Para encontrar , substituímos :
Para encontrar , substituímos :

Passo 4

Então, a decomposição fica:
-1(z-1)(z-2) = 1z-1 - 1z-2
Agora, precisamos expandir cada fração em séries de potências válidas para .

Passo 5

Vamos começar com 1z-1 = 1z cdot 11 - 1z . Reescrevendo:
1z-1 = 1z sumn=0^infty ( 1z )^n = sumn=0^infty 1z^n+1
Aqui, usamos a fórmula da série geométrica válida para . No nosso caso, e como , .
Então:

Passo 6

Agora, vamos expandir 1z-2 = 12 cdot 11 - z2 . Reescrevendo:
1z-2 = 12 sumn=0^infty ( z2 )^n = sumn=0^infty z^n2^n+1
Usando novamente a série geométrica válida para . Aqui, e como , .
Então:

Passo 7

Finalmente, juntando as duas expansões que encontramos:
f(z) = 1z-1 - 1z-2 = sumn=0^infty 1z^n+1 + sumn=0^infty z^n2^n+1

Resposta

Assim, mostramos que para f(z) = -1(z-1)(z-2) = sumn=0^infty 1z^n+1 + sumn=0^infty z^n2^n+1 :

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