Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
integral0^infty 13-2 cos theta+sin theta d theta

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para calcular a integral
integral0^infty 13 - 2 cos theta + sin theta dtheta
usando o Teorema dos Resíduos, que faz parte da matéria de Cálculo Complexo. Para resolver essa integral, vamos precisar transformar a expressão usando números complexos e identificar os resíduos das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema dos Resíduos nos ajuda a calcular integrais no plano complexo, especialmente aquelas envolvendo funções racionais de cos theta = z + z^-12, sin theta = z - z^-12i . Para isso, fazemos a substituição dtheta = dziz . Com isso, podemos expressar e em termos de :
Além disso, o diferencial se transforma em:

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
I = integral0^infty 13 - 2 ( z + z^-12 ) + ( z - z^-12i ) cdot dziz
Simplificando o denominador:
3 - (z + z^-1) + z - z^-12i

Passo 4

Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por I = integral|z|=1 13z - z^2 - 1 + z^2 - 12i cdot dziz para eliminar os termos :
Agora, combinamos os termos semelhantes no denominador.

Passo 5

Depois de simplificar e reorganizar os termos, obtemos uma função racional em termos de . A próxima etapa é encontrar os polos dessa função dentro do círculo unitário . Esses polos são os valores de que tornam o denominador zero.

Passo 6

Aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
I = 2pi i times (soma dos resíduos dentro de |z|=1) í
Calculamos os resíduos das funções no interior do círculo unitário e somamos esses valores.

Passo 7

Após calcular os resíduos, substituímos na expressão acima para encontrar o valor da integral. No caso desta integral específica, após os cálculos e simplificações necessárias, chegamos ao resultado final.

Resposta

O valor da integral é .

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