Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para calcular a integral
usando o Teorema dos Resíduos, que faz parte da matéria de Cálculo Complexo. Para resolver essa integral, vamos precisar transformar a expressão usando números complexos e identificar os resíduos das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema dos Resíduos nos ajuda a calcular integrais no plano complexo, especialmente aquelas envolvendo funções racionais de
. Para isso, fazemos a substituição
. Com isso, podemos expressar
e
em termos de
:
Além disso, o diferencial
se transforma em:
Passo 3
Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Simplificando o denominador:
Passo 4
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por
para eliminar os termos
:
Agora, combinamos os termos semelhantes no denominador.
Passo 5
Depois de simplificar e reorganizar os termos, obtemos uma função racional em termos de
. A próxima etapa é encontrar os polos dessa função dentro do círculo unitário
. Esses polos são os valores de
que tornam o denominador zero.
Passo 6
Aplicamos o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
Calculamos os resíduos das funções no interior do círculo unitário e somamos esses valores.
Passo 7
Após calcular os resíduos, substituímos na expressão acima para encontrar o valor da integral. No caso desta integral específica, após os cálculos e simplificações necessárias, chegamos ao resultado final.
Resposta
O valor da integral é
.