Beleza, vamos resolver o exercício de desenvolver a função em uma série de Laurent para . Isso envolve usar conceitos de frações parciais e séries de potências, que são ferramentas para expressar funções complexas como somas infinitas que são mais fáceis de trabalhar dentro de certos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de duas frações simples:
Passo 3
Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da igualdade por :
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação. Se :
Se :
Passo 4
Agora que temos e , podemos reescrever :
Passo 5
Nosso objetivo é desenvolver essa expressão em série de Laurent para . Vamos focar em cada termo separadamente. Primeiro, reescrevemos os denominadores para facilitar a expansão:
Passo 6
Agora, vamos expandir cada termo usando a série geométrica, que é válida quando o valor dentro da série tem módulo menor que 1:
Como , ambas as séries convergem.
Passo 7
Substituindo as séries de volta na expressão de :
Passo 8
Finalmente, podemos combinar os termos para obter a série de Laurent completa: