Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
|z| < 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de desenvolver a função em uma série de Laurent para . Isso envolve usar conceitos de frações parciais e séries de potências, que são ferramentas para expressar funções complexas como somas infinitas que são mais fáceis de trabalhar dentro de certos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Isso significa escrever como a soma de duas frações simples:

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da igualdade por :
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação. Se :
Se :

Passo 4

Agora que temos e , podemos reescrever :

Passo 5

Nosso objetivo é desenvolver essa expressão em série de Laurent para . Vamos focar em cada termo separadamente. Primeiro, reescrevemos os denominadores para facilitar a expansão:

Passo 6

Agora, vamos expandir cada termo usando a série geométrica, que é válida quando o valor dentro da série tem módulo menor que 1:
Como , ambas as séries convergem.

Passo 7

Substituindo as séries de volta na expressão de :

Passo 8

Finalmente, podemos combinar os termos para obter a série de Laurent completa:

Resposta

A série de Laurent de para é:

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