Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
ointC cosh pi zz(z^2+1) d z
onde C é o círculo de raio 2 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais usando o Teorema dos Resíduos. A gente tem a integral
ointC cosh pi zz(z^2+1) dz
onde é um círculo de raio 2, percorrido no sentido anti-horário. Pra resolver isso, vamos precisar identificar os pólos da função dentro do círculo e calcular os respectivos resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades (valores de que fazem o denominador zero):
  • (já que implica )
Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do círculo de raio 2. Como e , todos os três pólos estão dentro de .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o resíduo de cada pólo dentro de Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z) . O resíduo em um pólo simples Res(f, 0) = limz to 0 z cdot cosh pi zz(z^2+1) = limz to 0 cosh pi zz^2+1 = cosh 00 + 1 = 1 é dado por:
Res(f, i) = limz to i (z - i) cdot cosh pi zz(z^2+1) = limz to i cosh pi zz(z + i)
Vamos calcular para cada pólo:
  1. Pólo em cosh (pi i)i (i + i) = cos (pi)i (2i) = -1i cdot 2i = -1-2 = 12 :
Res(f, -i) = limz to -i (z + i) cdot cosh pi zz(z^2+1) = limz to -i cosh pi zz(z - i)
  1. Pólo em cosh (-pi i)-i (-i - i) = cos (-pi)-i (-2i) = cos pi-i cdot (-2i) = -1-i cdot -2i = -1-2(-1) = -12 = -12 :
Substituindo :
  1. Pólo em :
Substituindo :

Passo 4

Agora, somamos os resíduos calculados:
Res(f, 0) + Res(f, i) + Res(f, -i) = 1 + 12 - 12 = 1

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a ointC cosh pi zz(z^2+1) dz = 2pi i cdot 1 = 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro de :

Resposta

A integral vale .

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