Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
onde
é o círculo de raio 2 orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais usando o Teorema dos Resíduos. A gente tem a integral
onde
é um círculo de raio 2, percorrido no sentido anti-horário. Pra resolver isso, vamos precisar identificar os pólos da função dentro do círculo e calcular os respectivos resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades (valores de
que fazem o denominador zero):
-
-
(já que implica ) -
Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do círculo de raio 2. Como
e
, todos os três pólos estão dentro de
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o resíduo de cada pólo dentro de
. O resíduo em um pólo simples
é dado por:
Vamos calcular para cada pólo:
- Pólo em
:
- Pólo em
:
Substituindo
:
- Pólo em
:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, somamos os resíduos calculados:
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro de
:
Resposta
A integral vale
.