Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos desenvolver a função em uma série de Laurent válida para . Para isso, vamos utilizar conceitos de frações parciais e expansões em séries de potências que nos permitem expressar funções racionais em séries convergentes em determinadas regiões do plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a expansão em série. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação.
Passo 3
Vamos escolher :
Agora, escolhemos :
Assim, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 4
Agora, precisamos expandir cada termo em série de Laurent válida para .
Primeiro, consideramos :
Essa é uma série geométrica válida para , ou seja, .
Passo 5
Em seguida, expandimos :
Essa série converge para , ou seja, . Como estamos trabalhando com , essa expansão é válida.