Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
|z| > 3;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos desenvolver a função em uma série de Laurent válida para . Para isso, vamos utilizar conceitos de frações parciais e expansões em séries de potências que nos permitem expressar funções racionais em séries convergentes em determinadas regiões do plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais para facilitar a expansão em série. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação.

Passo 3

Vamos escolher :
Agora, escolhemos :
Assim, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 4

Agora, precisamos expandir cada termo em série de Laurent válida para .
Primeiro, consideramos :
Essa é uma série geométrica válida para , ou seja, .

Passo 5

Em seguida, expandimos :
Essa série converge para , ou seja, . Como estamos trabalhando com , essa expansão é válida.

Passo 6

Reunindo as expansões encontradas:

Resposta

A série de Laurent de para é:

Exercícios relacionados

Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
1 < |z| < 3;
Encontre os vetores T (tangente unitário), N (normal unitário) e B (binormal) no ponto indicado. vec{r}(t) = (cos(t), sen(t), ln(cos(t))), P = (1, 0, 0)
Desenvolva f(z)=(z-1)^(-1)*(z-3)^(-1) em série de Laurent para:
|z| < 1;
Calcule as seguintes integrais utilizando para isso o teorema dos resíduos:
ointC cosh pi zz(z^2+1) d z
onde C é o círculo de raio 2 orientado no sentido anti-horário.