Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada). f) integral cos ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular a integral de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão e depois integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma maneirada em cos^3(x) = cos^2(x) cdot cos(x) . Como a potência de cosseno é ímpar, a gente pode separar uma parte de e deixar o restante para trabalhar com identidades trigonométricas. Ou seja:

Passo 3

Agora, lembrando que cos^3(x) = (1 - sin^2(x)) cdot cos(x) pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica . Então substituímos na expressão:

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar du = cos(x) , dx . Então, ao derivar em relação a , temos:
Isso simplifica nossa integral, porque é exatamente .

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral cos^3(x) , dx = integral (1 - u^2) , du
Agora, a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du = u - u^33 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original substituindo u - u^33 + C = sin(x) - sin^3(x)3 + C :

Resposta

integral cos^3(x) , dx = sin(x) - sin^3(x)3 + C

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