Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada). e) integral 4 e^x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral que envolve o produto de uma função exponencial e uma função trigonométrica . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é escolher como a função que se simplifica quando derivada, e como o que sobra.

Passo 3

Vamos definir:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
dv = 4 e^x , dx Rightarrow v = 4 e^x
Isso porque a integral de é , e multiplicando por 4 fica .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral 4 e^x sin(x) , dx = u , v - integral v , du = sin(x) cdot 4 e^x - integral 4 e^x cos(x) , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: I = integral 4 e^x cos(x) , dx . Vamos chamar essa integral de :

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes em u = cos(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx . Desta vez, escolhemos:
dv = 4 e^x , dx Rightarrow v = 4 e^x
I = cos(x) cdot 4 e^x - integral 4 e^x (-sin(x)) , dx = 4 e^x cos(x) + 4 integral e^x sin(x) , dx
Aplicando a fórmula:
J = integral e^x sin(x) , dx
Note que a nova integral é similar à original, ou seja, . Vamos chamar essa integral de :

Passo 6

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
integral 4 e^x sin(x) , dx = 4 e^x sin(x) - I
Substituindo integral 4 e^x sin(x) , dx = 4 e^x sin(x) - [4 e^x cos(x) + 4 J ] pela expressão que encontramos:
integral 4 e^x sin(x) , dx = 4 e^x sin(x) - 4 e^x cos(x) - 4 J
Simplificando:
integral 4 e^x sin(x) , dx = 4 e^x sin(x) - 4 e^x cos(x) - 4 J
Mas lembramos que J = sin(x) e^x - e^x cos(x) - J , então:
2J = sin(x) e^x - e^x cos(x)
Agora, queremos resolver para J = 12 e^x (sin(x) - cos(x)) . Rearranjando:

Resposta

Portanto, a integral 2 e^x (sin(x) - cos(x)) + C é:
onde é a constante de integração.

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