Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada). e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral que envolve o produto de uma função exponencial
e uma função trigonométrica
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Uma boa estratégia é escolher
como a função que se simplifica quando derivada, e
como o que sobra.
Passo 3
Vamos definir:
Isso porque a integral de
é
, e multiplicando por 4 fica
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver:
. Vamos chamar essa integral de
:
Passo 5
Vamos aplicar novamente a integração por partes em
. Desta vez, escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Note que a nova integral é similar à original, ou seja,
. Vamos chamar essa integral de
:
Passo 6
Voltando à nossa expressão inicial, temos:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Mas lembramos que
, então:
Agora, queremos resolver para
. Rearranjando:
Resposta
Portanto, a integral
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada). f)
Calcule as derivadas das funções abaixo
.
Questão Seja
. Determine: (b) (4 pts) Os pontos de máximo e mínimo locais de
.
Calcule o limite
onde
.