Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada). e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma integral que envolve o produto de uma função exponencial e uma função trigonométrica . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é escolher como a função que se simplifica quando derivada, e como o que sobra.

Passo 3

Vamos definir:
Isso porque a integral de é , e multiplicando por 4 fica .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos chamar essa integral de :

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes em . Desta vez, escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Note que a nova integral é similar à original, ou seja, . Vamos chamar essa integral de :

Passo 6

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Mas lembramos que , então:
Agora, queremos resolver para . Rearranjando:

Resposta

Portanto, a integral é:
onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada). f)
Calcule as derivadas das funções abaixo .
Questão Seja . Determine: (b) (4 pts) Os pontos de máximo e mínimo locais de .
Calcule o limite onde .