Se
é uma família qualquer de compactos, então
é compacto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
é uma família qualquer de conjuntos compactos, então a interseção de todos esses conjuntos
também é compacta. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos compactos, e propriedades das interseções de tais conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto compacto é aquele que é fechado e limitado. Isso significa que ele não “fugirá” para o infinito e que contém todos os seus pontos de limite.
Passo 3
Sabemos que em um espaço métrico, como
, um conjunto é compacto se e somente se ele é fechado e limitado (por causa do Teorema de Heine-Borel). Então, para mostrar que a interseção dos
é compacta, precisamos mostrar que essa interseção é fechada e limitada.
Passo 4
Vamos começar mostrando que a interseção
é fechada. Sabemos que a interseção de conjuntos fechados é fechada. Como cada
é compacto, e compactos em
são fechados, a interseção de todos eles será também fechada.
Passo 5
Agora, vamos ver se a interseção é limitada. Como cada
é limitado, todos eles estão contidos dentro de algum grande “espaço” finito. A interseção de conjuntos limitados também será limitada porque não pode se estender além dos limites comuns a todos os
.
Passo 6
Como mostramos que
é fechado e limitado, concluímos que ela é compacta, pois satisfaz as condições necessárias para ser um conjunto compacto em
.
Resposta
Portanto, a interseção
de uma família qualquer de conjuntos compactos
é compacta.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c) uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então
.
c)
Se
é fechado e
fechado, mostre que
pode não ser fechado.
Determine
e
.
(b)