Se é uma família qualquer de compactos, então é compacto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se é uma família qualquer de conjuntos compactos, então a interseção de todos esses conjuntos também é compacta. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos compactos, e propriedades das interseções de tais conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto compacto. Em termos simples, um conjunto compacto é aquele que é fechado e limitado. Isso significa que ele não “fugirá” para o infinito e que contém todos os seus pontos de limite.

Passo 3

Sabemos que em um espaço métrico, como , um conjunto é compacto se e somente se ele é fechado e limitado (por causa do Teorema de Heine-Borel). Então, para mostrar que a interseção dos é compacta, precisamos mostrar que essa interseção é fechada e limitada.

Passo 4

Vamos começar mostrando que a interseção é fechada. Sabemos que a interseção de conjuntos fechados é fechada. Como cada é compacto, e compactos em são fechados, a interseção de todos eles será também fechada.

Passo 5

Agora, vamos ver se a interseção é limitada. Como cada é limitado, todos eles estão contidos dentro de algum grande “espaço” finito. A interseção de conjuntos limitados também será limitada porque não pode se estender além dos limites comuns a todos os .

Passo 6

Como mostramos que é fechado e limitado, concluímos que ela é compacta, pois satisfaz as condições necessárias para ser um conjunto compacto em .

Resposta

Portanto, a interseção de uma família qualquer de conjuntos compactos é compacta.

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
c) uma sequência descendente de conjuntos fechados e não vazios, então .
Se é fechado e fechado, mostre que pode não ser fechado.
Determine e .
Calcule as seguintes intograis:
(b)