Obtenha coberturas abertas de Q e de [0,+infinito) que não admitem subcoberturas finitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar coberturas abertas de Q (os números racionais) e de [0,+infinito) (todos os números reais maiores ou iguais a zero) que não tenham subcoberturas finitas. Isso está relacionado ao estudo de topologia, especificamente sobre o que significa uma cobertura aberta e a ideia de que algumas coberturas não podem ser reduzidas a um número finito de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cobertura aberta. Basicamente, uma cobertura aberta de um conjunto é uma coleção de conjuntos abertos que juntos contêm todo o conjunto original. No caso de Q e [0,+infinito), queremos encontrar essas coleções de conjuntos abertos de tal forma que não possamos selecionar apenas um número finito deles para ainda cobrir todo o conjunto.

Passo 3

Vamos começar com Q. Os números racionais são densos na reta real, o que significa que entre qualquer dois números reais, existe sempre um racional. Para criar uma cobertura aberta que não admite uma subcobertura finita, podemos associar a cada número racional um intervalo aberto ao seu redor. Por exemplo, para cada q in Q, consideramos o intervalo , onde é um número positivo pequeno. A união de todos esses intervalos cobre Q, mas como há infinitos números racionais, não conseguimos pegar apenas um número finito desses intervalos para cobrir todo Q.

Passo 4

Agora, vamos para [0,+infinito). Uma forma de criar uma cobertura aberta que não admite uma subcobertura finita é utilizando intervalos que se estendem cada vez mais para a direita. Por exemplo, podemos definir a cobertura aberta como a união dos intervalos para cada número natural n in N. Ou seja:
Essa coleção cobre todo o conjunto [0,+infinito) porque, para qualquer número x >= 0, existe um intervalo que contém x. No entanto, não podemos selecionar apenas um número finito de intervalos dessa coleção para cobrir todo [0,+infinito)$, já que sempre haverá partes de que ficam fora dos intervalos escolhidos se usarmos apenas finitamente muitos.

Resposta

Assim, uma cobertura aberta de Q que não admite subcobertura finita é a coleção de intervalos para cada q in Q, e uma cobertura aberta de [0,+infinito) que não admite subcobertura finita é a coleção .

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