Obtenha coberturas abertas de
e de
que não admitem subcoberturas finitas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar coberturas abertas de
(os números racionais) e de
(todos os números reais maiores ou iguais a zero) que não tenham subcoberturas finitas. Isso está relacionado ao estudo de topologia, especificamente sobre o que significa uma cobertura aberta e a ideia de que algumas coberturas não podem ser reduzidas a um número finito de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma cobertura aberta. Basicamente, uma cobertura aberta de um conjunto é uma coleção de conjuntos abertos que juntos contêm todo o conjunto original. No caso de
e
, queremos encontrar essas coleções de conjuntos abertos de tal forma que não possamos selecionar apenas um número finito deles para ainda cobrir todo o conjunto.
Passo 3
Vamos começar com
. Os números racionais são densos na reta real, o que significa que entre qualquer dois números reais, existe sempre um racional. Para criar uma cobertura aberta que não admite uma subcobertura finita, podemos associar a cada número racional um intervalo aberto ao seu redor. Por exemplo, para cada
, consideramos o intervalo
, onde
é um número positivo pequeno. A união de todos esses intervalos cobre
, mas como há infinitos números racionais, não conseguimos pegar apenas um número finito desses intervalos para cobrir todo
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Uma forma de criar uma cobertura aberta que não admite uma subcobertura finita é utilizando intervalos que se estendem cada vez mais para a direita. Por exemplo, podemos definir a cobertura aberta como a união dos intervalos
para cada número natural
. Ou seja:
Essa coleção cobre todo o conjunto
porque, para qualquer número
, existe um intervalo
que contém
. No entanto, não podemos selecionar apenas um número finito de intervalos dessa coleção para cobrir todo
$, já que sempre haverá partes de
que ficam fora dos intervalos escolhidos se usarmos apenas finitamente muitos.
Resposta
Assim, uma cobertura aberta de
que não admite subcobertura finita é a coleção de intervalos
para cada
, e uma cobertura aberta de
que não admite subcobertura finita é a coleção
.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes são verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, demonstre; caso contrário, dê um contra-exemplo.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
a) A reunião arbitrária de conjuntos compactos é compacto.
Encontrar a derivada direcional de
no ponto
: no sentido de um vetor
tal que
.
Calcule
, sendo:
,
(a)