Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular alguns limites. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades dos limites, saber aplicar as regras de simplificação e, às vezes, usar a substituição direta ou técnicas como a fatoração.
Passo 2
Vamos começar com um exemplo clássico para ilustrar como calcular um limite. Suponha que precisamos calcular:
Passo 3
Primeiro, tentamos substituir o valor para o qual
está tendendo diretamente na função:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 4
Uma técnica útil nesse caso é lembrar que, para
próximo de 0,
é aproximadamente igual a
. Então, podemos dizer que:
Isso sugere que o limite pode ser 1. Mas vamos confirmar isso usando uma regra matemática mais precisa.
Passo 5
Conhecemos uma regra importante no cálculo de limites, chamada Regra de L’Hôpital, que pode ser aplicada quando temos formas indeterminadas como
ou
. A regra diz que:
desde que esse último limite exista.
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hôpital ao nosso exemplo:
Primeiro, calculamos as derivadas de
e de
:
Então, aplicamos a regra:
Resposta
Portanto, o limite é igual a 1.
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