Passo 1
Então, você quer calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente os limites que envolvem funções trigonométricas e regras como a de L’Hôpital. Precisamos entender como o seno se comporta perto de
e como manipular expressões que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na expressão para ver qual forma o limite assume:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que não podemos determinar o limite apenas substituindo os valores. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na expressão original:
Isso simplifica para calcular apenas
quando
se aproxima de
.
Passo 5
Sabemos que
. Portanto, substituindo:
Resposta
O limite quando
se aproxima de
de é igual a
.
Exercícios relacionados
lim
Calcule os seguintes limites.