Passo 1

Então, você quer calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente os limites que envolvem funções trigonométricas e regras como a de L’Hôpital. Precisamos entender como o seno se comporta perto de e como manipular expressões que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na expressão para ver qual forma o limite assume:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que não podemos determinar o limite apenas substituindo os valores. Nesse caso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas. Então, vamos derivar e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na expressão original:
Isso simplifica para calcular apenas quando se aproxima de .

Passo 5

Sabemos que . Portanto, substituindo:

Resposta

O limite quando se aproxima de de é igual a .

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xsen
lim
Calcule os seguintes limites.