Calcule os seguintes limites abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e logaritmos. Vamos dividir o problema em etapas simples para entender cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural na função que queremos limitar. Isso porque logaritmos transformam potências em multiplicações, o que geralmente simplifica a análise.
Vamos chamar a expressão original de :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando tende ao infinito:
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Quando cresce muito, é aproximadamente igual a , porque o 1 se torna insignificante comparado a .
Portanto:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Então, chegamos que:

Passo 5

Agora que sabemos que , podemos encontrar o limite de usando a função exponencial, que é a função inversa do logaritmo natural.

Resposta

O limite é .

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Esboçe o gráficos dos seguintes itens abaixo:
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