Calcule os seguintes limites abaixo lim x infty(1+x)^1ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e logaritmos. Vamos dividir o problema em etapas simples para entender cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Uma boa estratégia é aplicar o logaritmo natural na função que queremos limitar. Isso porque logaritmos transformam potências em multiplicações, o que geralmente simplifica a análise.
Vamos chamar a expressão original de y = (1 + x)^1ln x :
ln y = 1ln x cdot ln(1 + x)
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de limx to infty ln y = limx to infty ln(1 + x)ln x quando ln(1 + x) approx ln x quando x to infty tende ao infinito:
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. Quando cresce muito, é aproximadamente igual a , porque o 1 se torna insignificante comparado a .
Portanto:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
limx to infty ln(1 + x)ln x approx limx to infty ln xln x = limx to infty 1 = 1
Então, chegamos que:
limx to infty ln y = 1

Passo 5

Agora que sabemos que y = e^ln y Rightarrow limx to infty y = e^limx to infty ln y = e^1 = e , podemos encontrar o limite de usando a função exponencial, que é a função inversa do logaritmo natural.

Resposta

O limite é .

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